Man betrachte das untenstehende pdf-Dokument an oder drucke es aus.
Die sechs im Dokument formulierten kombinatorischen Aufgaben sind (mathematisch gesprochen) untereinander verwandt. Man könnte auch sagen, dass gewisse dieser Aufgaben aus Sicht der Mathematik dasselbe bedeuten. Man lese die Aufgaben genau durch und versuche, zusammengehörende Aufgaben zu erkennen.

Optimal wäre es, wenn man (zu zweit oder in einer kleinen Gruppe) die gewonnenen Erkenntnisse vergleichen könnte.

Im folgenden pdf-Dokument wird eine mögliche Auflösung gezeigt.

Die beiden nachfolgenden Beispiele sind absichtlich ähnlich zu den bereits aus dem Kapitel "geordnete Stichproben" bekannten Aufgaben. Jetzt geht es um ungeordnete Stichproben ohne Wiederholung. Man überlege sich wieder, welches Wort oder welche Textpassage jeweils "ungeordnet" bzw. "ohne Wiederholung" bedeutet.

1. Man hat 9 Kisten in einer Reihe und 6 identische Kugeln. Auf wie viele Arten kann man die Kugeln auf die Kisten verteilen, wenn die Kugeln in verschiedene Kisten gelegt werden sollen?
2. In einem Behälter befinden sich 8 Zettel mit den Buchstaben A, B, C, D, E, F, G resp. H. Man zieht 5 Zettel mit einem Griff heraus. Wie viele verschiedene Ergebnisse dieses Versuchs sind möglich?

Wenn man mit der Maus auf die Felder zeigt, dann wird die entsprechende Textstelle angezeigt.

	Beispiel 1	Beispiel 2
"ungeordnet"
"ohne Wiederholung"

Im folgenden Video finden sich ausführliche Erklärungen zur Anzahl ungeordneter Stichproben ohne Wiederholung.

 

Die Theorie wird in der folgenden Bildergeschichte vervollständigt.

Im Menu "Zusätze" findet man ein Übungsblatt zu diesen Binomialkoeffizienten, welches an dieser Stelle empfohlen wird.

1. Auf wie viele Arten kann man aus 12 Personen einen Dreierausschuss wählen?
2. Gegeben sei eine Menge von 20 Elementen. Wie viele Teilmengen mit genau 12 Elementen gibt es?
3. In einem Parlament sitzen 12 Vertreter der Partei A, 15 der Partei B und 8 der Partei C. Es soll eine 9-er-Kommission nach dem Verteilschlüssel A:B:C = 3:4:2 gebildet werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
4. An einem Wettbewerb werden 15 Warengutscheine zu 100.- und 25 Warengutscheine zu 50.- verlost. Auf wie viele verschiedene Arten kann die Verlosung ausgehen, wenn 100 Personen an der Verlosung teilnehmen?
5. 25 Personen stossen an einer Party an. Wie oft klingen die Gläser, wenn jeder mit jedem anstösst?
6. Wie viele Personen befinden sich in einer Gesellschaft, wenn beim Anstossen 253 Mal die Gläser klingen?
7. Wie viele 6-buchstabige Wörter mit genau zwei Vokalen gibt es? (Das Alphabet habe 26 Buchstaben, davon sind 6 Vokale.)
8. Ein Würfel wird 8 Mal geworfen. Wie viele Wurfsequenzen mit genau drei Sechsern sind möglich?

Hinweise und Lösungen wie üblich auf der nächsten Seite.

Diese Aufgabe ist auch bekannt unter dem Namen "Die Strassen von New York".

Im nebenstehenden Strassennetz will Mr. X von A nach B gelangen. Natürlich wählt er einen der kürzest möglichen Wege und geht stets nach rechts oder nach oben (Richtung Osten bzw. nach Norden).

1. Wie viele Wege von A nach B gibt es insgesamt?
2. Mr. X soll in C noch einen Kollegen abholen. Wie viele Möglichkeiten (also von A über C nach B) gibt es jetzt?
3. Wie viele kürzeste Verbindungen stehen ihm zur Verfügung, wenn er unterwegs in C einen Kollegen abholen muss, aber die markierte Strasse wegen einer Sperrung nicht benützen darf?

   

 

Das nachstehende Cinderella-Applet wurde von Herrn Andreas Leiser (ETH Zürich, Gruppe LEMUREN) programmiert. Besten Dank.
Man kann auf einen Gitterpunkt klicken und dann werden die Wege angezeigt, welche von A über diesen Punkt nach B führen. Weiter wird die Anzahl der so möglichen Wege berechnet.
 

Bitte schalten Sie Java ein, um eine Cinderella-Konstruktion zu sehen.

1. Man hat 9 Kisten in einer Reihe und 9 Kugeln, nämlich 4 weisse, 3 blaue und 2 rote. Auf wie viele Arten kann man die Kugeln auf die Kisten verteilen, wenn in jede Kiste genau eine Kugel gelegt werden soll?
2. Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI anordnen?

Obige Aufgaben sind Beispiele von Permutationen mit Wiederholungen.

Die zweite Aufgabe ist als "MISSISSIPPI-Problem" weitherum bekannt geworden. Wenn man "Kombinatorik Mississippi" googlet, erhält man problemlos eine vierstellige Anzahl Treffer. Wer will, kann sich online eine Erklärung suchen, wer will, kann auch das untenstehende pdf-Dokument studieren. 

1. Auf wie viele Arten kann man die Buchstaben des Wortes EMMENTALER anordnen?
2. In einer Buchhandlung stehen folgende Wörterbücher in einer Reihe: 3 Exemplare Deutsch-Englisch, 5 Ex. Deutsch-Französisch, 2 Ex. Deutsch-Italienisch und 4 Ex. Deutsch-Spanisch. Auf wie viele Arten kann man die Bücher anordnen, wenn gleiche Bücher als ununterscheidbar gelten?
3. Wie viele 7-stellige Zahlen kann man aus den Ziffern 0,0,0,1,1,2,3 bilden? (An erster Stelle darf keine Null stehen.)
4. Beim Jassen (Bieter) erhält jeder der drei Spieler 12 Karten. Auf wie viele Arten kann man die Karten verteilen? Und wie viele Verteilungen gibt es, wenn der verteilende Spieler ein Betrüger ist und sich selbst alle vier Asse gibt?

Man hat 9 Kisten in einer Reihe und 6 identische Kugeln. Auf wie viele Arten kann man die Kugeln auf die Kisten verteilen, wenn die Kugeln beliebig verteilt werden dürfen?

Zu dieser Aufgabe gibt es einen Text zu studieren. In diesem Text wird die letzte noch fehlende Grundformel aus der Kombinatorik erklärt.
(Ein Klick auf das Bild öffnet das pdf-Dokument.)

1. In einem Behälter befinden sich Buchstaben A .. F und zwar von jedem Buchstaben mindestens 10 Zettel. Man zieht 10 Zettel mit einem Griff heraus. Auf wie viele Arten kann dieses Experiment ausgehen?
2. Für die Wahl in ein Parlament mit 10 Sitzen bewerben sich 4 Parteien. (Es sei angenommen, dass jede Partei mit 10 Kandidaten zur Wahl antritt.) Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Sitzverteilung?
3. In 8 Kisten werden 22 identische Kugeln gelegt, wobei jede Kiste besetzt werden soll. Wie viele Verteilungen sind möglich?
4. Ein Eishockey-Spiel endet 9:4. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Drittelsergebnisse? Beispielsweise 9:4 (2:1, 4:0, 3:3)

Benachbarte Lottozahlen:
Eine Lottoziehung (6 aus 45) lautet: 3  12  13  17  29  43, eine andere Ziehung sei 15  28  31  34  36  39. In der ersten Ziehung kommen die benachbarten Zahlen 12 und 13 vor, in der zweiten Ziehung gibt es keine benachbarten Zahlen.

Bei wie vielen Lottoziehungen kommen keine benachbarten Zahlen vor?
Die Lösung wird im nachfolgenden Video vorgeführt.