Summen- und Produktregel
1) Beispiel
Aus den Buchstaben E, I, B, L sollen vierbuchstabige Wörter gebildet werden.
Man mache sich zu dieser Aufgabe ein paar Gedanken. Die folgende mp3-Datei stellt eine kleine Einführung in die Kombinatorik dar.
2) Bemerkung
Kombinatorik handelt vom Abzählen von Möglichkeiten. Es muss daher bei jeder Aufgabe klargestellt sein, welche Möglichkeiten bei einer Aufgabe zugelassen sind und welche nicht.
Das ganze Kapitel der Kombinatorik stützt sich auf nur zwei grundlegende Zählregeln.
Das ganze Kapitel der Kombinatorik stützt sich auf nur zwei grundlegende Zählregeln.
3) Beispiele
- Jemand will drei Flüsse überqueren. Ueber den ersten Fluss führen vier Brücken, über den zweiten Fluss sechs und über den dritten Fluss fünf Brücken. Auf wie viele Arten kann man ans Ziel kommen?
- In einem Behälter befinden sich 90 Zahlen. Man zieht 3 Mal ohne Zurücklegen (Lotto). Auf wie viele Arten kann das Experiment ausgehen?
4) Theorie: Die Produktregel
5) Beispiel
Die Figur zeigt die Brücken einer Stadt. Jemand will von A nach B gelangen. Wie viele verschiedene Möglichkeiten hat er, die Brücken zu überqueren?
Wenn man mit der Maus auf das Bild zeigt, erhält man einen Hinweis.
6) Theorie: Die Summenregel
7) Bemerkung
Die Summenregel verwendet man oft intuitiv richtig und oft ohne, dass man sich deren bewusst ist. Entscheidend ist einfach, dass die verschiedenen Möglichkeiten disjunkt sind, d.h. dass keine Möglichkeit mehrfach vorkommt. Falsche Ergebnisse entstehen in der Kombinatorik häufig dadurch, dass Mehrfachzählungen vorkommen.
8) Übung: Wörter
Wir betrachten Wörter (= Buchstabensequenzen) aus 6 Buchstaben.
Das Alphabet habe 26 Buchstaben, davon sind 6 Vokale: a, e, i, o, u und y.
Hinweise und Lösungen befinden sich immer auf der nächsten Seite dieses Lehrganges.
Das Alphabet habe 26 Buchstaben, davon sind 6 Vokale: a, e, i, o, u und y.
- Wie viele solche Wörter gibt es insgesamt?
- Wie viele solche Wörter enden auf "-er", "-en" oder "-es"? (z.B. Wiesen, Butter)
- Wie viele solche Wörter beginnen mit S, aber nicht mit St oder Sp?
- Wie viele solche Wörter haben mindestens zwei Vokale?
- Wie viele solche Wörter enthalten die Zeichenfolge "sch"? (z.B. Escher)
Hinweise und Lösungen befinden sich immer auf der nächsten Seite dieses Lehrganges.
9) Übung: Zahlen
Eine 5-stellige Zahl beginnt nicht mit einer Null.
- Wie viele 5-stellige Zahlen gibt es insgesamt?
- Wie viele 5-stellige Zahlen bestehen aus fünf verschiedenen Ziffern?
- Wie viele 5-stellige Zahlen haben genau eine "3"?
10) Übung
In einem EU-Gremium sitzen 10 Deutsche, 8 Franzosen, 12 Briten und 6 Italiener.
Auf wie viele Arten kann ein Ausschuss von drei Personen verschiedener Nationalität gebildet werden?
Auf wie viele Arten kann ein Ausschuss von drei Personen verschiedener Nationalität gebildet werden?